mercredi 27 novembre 2013

L'ordre dans le chaos - Les attracteurs étranges

Nous avons vu que les attracteurs pouvaient être ponctuels ou cycliques, mais certains attracteurs ont la propriété particulière de former une courbe fractale dans l'espace des phases (voir définition dans un article précédent).
On les appelle des attracteurs étranges.

La plupart des fractales peuvent être obtenues par itérations sur un ensemble d'équations non linéaires.
Ainsi, Edward Lorenz (le fondateur de la théorie du chaos en météorologie) réussit-il à simuler un modèle simplifié d'évolution climatique (le phénomène de convection de Bénard) au moyen d'un système de seulement 3 équations à 3 inconnues. 
La courbe ainsi obtenue dans l'espace des phases est appelée attracteur de Lorenz (voir une magnifique animation du CNRS où vous pouvez modifier les paramètres des constantes ainsi que le point d'origine dans l'espace des phases en cliquant sur le graphique). On peut jouer avec cet attracteur pendant des heures, ce qui est bien la preuve de son pouvoir d'attraction !

D'autres systèmes aux équations non linéaires sont régis par des attracteurs étranges. Ainsi par exemple l'équation utilisée habituellement pour simuler l'évolution d'une population au cours des générations:
f(x) = rx(1-x)
f(x) représente la génération suivante étant donné une population actuelle x:
Par exemple, on peut l'utiliser pour simuler l'évolution de la population des grenouilles d'année en année.
r est le facteur de croissance.
On suppose que x est compris entre 0 et 1, et le facteur (1-x) est le régulateur de population qui traduit l'inexorable loi de Malthus.
Elle a été étudiée par le scientifique Robert May et on peut voir que la population, loin de tendre vers une valeur stable (bien qu'elle le fasse pour certaines valeurs faibles du paramètre r), a les traits du chaos déterministe pour certaines valeurs élevées de r. (voir ici une illustration amusante ou une animation didactique ici)

Ainsi, la première révolution des fractales fut qu'on puisse étudier des systèmes complexes mettant en jeu de grandes quantités de paramètres (comme le climat) avec seulement quelques équations non linéaires et quelques paramètres rendant ainsi accessible la modélisation de la complexité dans un langage mathématique relativement simple.
Mais plus important encore, fut le fait que des systèmes extrêmement simples puisse se comporter de manière extrêmement complexe et chaotique, rendant ainsi caduques les deux croyances scientifiques habituelles suivantes:
- Un système complexe se comporte forcément de manière complexe. (Exemples: le chou romanesco, la convection, le cours du coton ou le climat)
- Un système simple se comporte forcément de manière simple (Exemples: le pendule, l'équation de Robert May, le système à 3 corps)

La loi des gaz parfaits ou les lois de thermodynamique en général sont de bons exemples de systèmes complexes suivant des lois simples, puisqu'elles permettent de modéliser le comportement de milliards de particules en interaction avec seulement 2 paramètres (la température et la pression)

La seconde révolution des fractales fût amenée dans les années 80 par un groupe d'étudiants de Santa Cruz qui découvrirent un moyen de déterminer si un système était régi ou non par un attracteur étrange et quel était le nombre de variables de l'attracteur, à partir d'un ensemble de mesures réelles.

On put dès lors formuler des hypothèses sur tous les systèmes dont on avait une suite de données assez importante et les applications furent innombrables.

Mandelbrot appliqua cette théorie à l'économie et étudia la variation du marché du coton dont le cours était soigneusement référencé depuis d'innombrables années, mais aussi le taux d'erreurs de transmissions dans les lignes téléphoniques et bien d'autres systèmes complexes.

Des médecins et des psychiatres utilisèrent ces découvertes pour étudier les insomnies, la fibrillation cardiaque, la schizophrénie, les dérèglements respiratoires, les effets des vaccins sur les populations et de manière générale tous les dérèglements de fréquence.

Ainsi par exemple, lorsqu'on entame une campagne de vaccination, la théorie du chaos prévoit la possibilité de variations aléatoires pendant les premières années de la campagne (par exemple une augmentation de la maladie), phénomène qui était resté inexpliqué et qu'on imputait jusqu'alors à des erreurs statistiques.

Sources:
La théorie du chaos - James Gleick
Entre le temps et l'éternité - Ilya Prigogine et Isabelle Stengers

5 commentaires:

  1. Notons quand même que les travaux de Mandlebrot sur les cours boursiers ont apporté une pierre à ce sujet, mais pas forcément décisive. C'est plus Pareto (qui oeuvrait avant Mandelbrot qui s'est révélé utile).
    Mandelbrot avait trouvé 2 choses :
    - un principe de discontinuité, c'est-à-dire des variations importantes trop fréquentes par rapport à la loi normale (queue de distribution épaisse), ce qu'il appelle "syndrome de Noé"
    - et le syndrome de Joseph : « Sept années d’abondance, sept années de vaches maigres »
    Le syndrome de Joseph, bof bof, ça ne se vérifie pas des masses (peut-être sur le coton ?). Toute sortes de caractères cycliques ont été tentés (cycles de Kondratieff sur 70 ans par ex) sur l'économie et la bourse mais bon ça ne marche jamais trop bien.
    Par contre, le fait que, même dans des indices composites comme le Dow Jones ou le CAC40, les variations quotidiennes importants (par ex -3% ou +3%) soient beaucoup plus nombreuses que normales est vrai.
    En fait, il faut utiliser une loi de Pareto (loi-puissance) plutôt qu'une gaussienne et même de drôles d'oiseaux statistiques comme les courbes L-stables ou mieux leptokurtiques http://www.communication-sensible.com/articles/article0111.php

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    1. Leptokurtique !!! Ouah, la vache ! Mot compte-triple ! Je m'avoue vaincu...
      D'après le wiktionnaire:
      (Mathématiques) (Statistiques): Se dit d’une distribution de probabilités dont la cloche est plus pointue que celle de la loi gaussienne, avec des queues plus importantes.
      C'est tout à fait moi. :-)

      En tous les cas, l'article est très intéressant.

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    2. "Retenons à ce stade que ces lois de probabilité dont Mandelbrot démontra qu’elles ont la propriété d’autosimilarité ont, pour le même prix, des propriétés assez « désagréables » : Elles peuvent ne pas avoir de moyenne"

      Exactement le type de mécanisme totalement contre-intuitif: on a tendance à penser qu'il existe une moyenne pour tout...

      Excellent. J'adore!

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    3. Mais tout ça date plutôt de Vilfredo Pareto et de sa distribution qui comprend un exposant k.
      Si k <=1, il n'y pas de moyenne (infinie)
      Si k <=2, il n'y pas de variance (infinie)
      Par exemple, l'estimation des dommages de catastrophes (combien coûteront les catastrophes naturelles cette année) obéit à une loi de Pareto et n'a pas de moyenne ... dommage pour les assureurs.
      Par contre, on peut calculer la moyenne des catastrophes dont le dommage par catastrophe est capé (par exemple à 10 Mds$). Sachant qu'il existe une chance faible mais pas négligeable (queue de distribution élevée) d'une méga-catastrophe ...



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  2. A mon avis, il est difficile de modéliser le futur cours de la bourse, car la connaissance de chaque résultat influence les acteurs boursiers...

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