L'ordre dans le chaos - Les attracteurs étranges

Nous avons vu que les attracteurs pouvaient être ponctuels ou cycliques, mais certains attracteurs ont la propriété particulière de former une courbe fractale dans l'espace des phases (voir définition dans un article précédent).
On les appelle des attracteurs étranges.

La plupart des fractales peuvent être obtenues par itérations sur un ensemble d'équations non linéaires.
Ainsi, Edward Lorenz (le fondateur de la théorie du chaos en météorologie) réussit-il à simuler un modèle simplifié d'évolution climatique (le phénomène de convection de Bénard) au moyen d'un système de seulement 3 équations à 3 inconnues. 
La courbe ainsi obtenue dans l'espace des phases est appelée attracteur de Lorenz (voir une magnifique animation du CNRS où vous pouvez modifier les paramètres des constantes ainsi que le point d'origine dans l'espace des phases en cliquant sur le graphique). On peut jouer avec cet attracteur pendant des heures, ce qui est bien la preuve de son pouvoir d'attraction !

D'autres systèmes aux équations non linéaires sont régis par des attracteurs étranges. Ainsi par exemple l'équation utilisée habituellement pour simuler l'évolution d'une population au cours des générations:
f(x) = rx(1-x)
f(x) représente la génération suivante étant donné une population actuelle x:
Par exemple, on peut l'utiliser pour simuler l'évolution de la population des grenouilles d'année en année.
r est le facteur de croissance.
On suppose que x est compris entre 0 et 1, et le facteur (1-x) est le régulateur de population qui traduit l'inexorable loi de Malthus.
Elle a été étudiée par le scientifique Robert May et on peut voir que la population, loin de tendre vers une valeur stable (bien qu'elle le fasse pour certaines valeurs faibles du paramètre r), a les traits du chaos déterministe pour certaines valeurs élevées de r. (voir ici une illustration amusante ou une animation didactique ici)

Ainsi, la première révolution des fractales fut qu'on puisse étudier des systèmes complexes mettant en jeu de grandes quantités de paramètres (comme le climat) avec seulement quelques équations non linéaires et quelques paramètres rendant ainsi accessible la modélisation de la complexité dans un langage mathématique relativement simple.
Mais plus important encore, fut le fait que des systèmes extrêmement simples puisse se comporter de manière extrêmement complexe et chaotique, rendant ainsi caduques les deux croyances scientifiques habituelles suivantes:
- Un système complexe se comporte forcément de manière complexe. (Exemples: le chou romanesco, la convection, le cours du coton ou le climat)
- Un système simple se comporte forcément de manière simple (Exemples: le pendule, l'équation de Robert May, le système à 3 corps)

La loi des gaz parfaits ou les lois de thermodynamique en général sont de bons exemples de systèmes complexes suivant des lois simples, puisqu'elles permettent de modéliser le comportement de milliards de particules en interaction avec seulement 2 paramètres (la température et la pression)

La seconde révolution des fractales fût amenée dans les années 80 par un groupe d'étudiants de Santa Cruz qui découvrirent un moyen de déterminer si un système était régi ou non par un attracteur étrange et quel était le nombre de variables de l'attracteur, à partir d'un ensemble de mesures réelles.

On put dès lors formuler des hypothèses sur tous les systèmes dont on avait une suite de données assez importante et les applications furent innombrables.

Mandelbrot appliqua cette théorie à l'économie et étudia la variation du marché du coton dont le cours était soigneusement référencé depuis d'innombrables années, mais aussi le taux d'erreurs de transmissions dans les lignes téléphoniques et bien d'autres systèmes complexes.

Des médecins et des psychiatres utilisèrent ces découvertes pour étudier les insomnies, la fibrillation cardiaque, la schizophrénie, les dérèglements respiratoires, les effets des vaccins sur les populations et de manière générale tous les dérèglements de fréquence.

Ainsi par exemple, lorsqu'on entame une campagne de vaccination, la théorie du chaos prévoit la possibilité de variations aléatoires pendant les premières années de la campagne (par exemple une augmentation de la maladie), phénomène qui était resté inexpliqué et qu'on imputait jusqu'alors à des erreurs statistiques.

Sources:
La théorie du chaos - James Gleick
Entre le temps et l'éternité - Ilya Prigogine et Isabelle Stengers